Question

4．長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，E為AB的中點(diǎn)，CE=3，cos∠ACE=$\frac{{5\sqrt{3}}}{9}$，且四邊形ABB₁A₁為正方形，則球O的直徑為4或$\sqrt{51}$．

Answer 1

分析 設(shè)AB=2x，則AE=x，BC=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，由余弦定理可得x²=9+3x²+9-2×3×$\sqrt{9+3{x}^{2}}$×$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，求出x，即可求出球O的直徑．

解答 解：設(shè)AB=2x，則AE=x，BC=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，
∴AC=$\sqrt{9+3{x}^{2}}$
由余弦定理可得x²=9+3x²+9-2×3×$\sqrt{9+3{x}^{2}}$×$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，
∴x=1或$\sqrt{6}$，
∴AB=2，BC=2$\sqrt{2}$，球O的直徑為$\sqrt{4+4+8}$=4，
或AB=2$\sqrt{6}$，BC=$\sqrt{3}$，球O的直徑為$\sqrt{24+24+3}$=$\sqrt{51}$．
故答案為：4或$\sqrt{51}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球O的直徑，考查余弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出AB是關(guān)鍵．