Question

已知⊙O：x²+y²=9，點A（2，2），過A作兩條互相垂直的弦CD和EF．
（1）求證：CD²+EF²為定值；
（2）求四邊形CDEF的面積的最大值；
（3）求弦CD與EF的長之和的最大值；
（4）求△OEF的面積的最大值；
（5）點B（1，1），過B點作一條直線l交⊙O于K、H，求△OKH面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：按照圓的半徑與半弦長以及弦心距之間的關(guān)系結(jié)合基本不等式求最值．

解答： 解：（1）取CD的中點M、EF的中點N，則由弦的性質(zhì)可得OMAN為矩形，
∴OM²+ON²=OA²=8．
∵OD²-OM²=(

CD

2

)2，OE²-ON²=(

EF

2

)2，即 9-OM²=(

CD

2

)2，9-ON²=(

EF

2

)2，
∴9-8=(

CD

2

)2+(

EF

2

)2，
∴CD²+EF²=4．
（2）∵圓O的方程為：x²+y²=9，
∴圓心O坐標(biāo)（0，0），半徑r=3，
設(shè)圓心O到CD、EF的距離分別為d₁、d₂，
∵A（2，2），∴d₁²+d₂²=OA²=8，
又CD=2

r2-d12

=2

9-d12

，EF=2

r2-d22

=2

9-d22

，
∴四邊形CDEF的面積S=

1

2

CD•EF=2

r2-d22

9-d22

≤（9-d12）+（9-d22）=18-8=10，
當(dāng)且僅當(dāng)d₁² =d₂²時取等號，
∴四邊形CDEF面積的最大值為10．
（3）由（1）結(jié)合基本不等式得（|CD|+|EF|）²≤2（|CD|²+|EF|²）=8，
當(dāng)且僅當(dāng)|CD|=|EF|=

2

時，|CD|+|EF|的最大值為2

2

．
（4）△OEF的面積=

1

2

×EF×d2=

1

2

×2

9-d22

d2=

(9-d22)d22

≤

9-d22+d22

2

=

9

2

；
所以△OEF的面積的最大值為

9

2

；
（5）點B（1，1），過B點作一條直線l交⊙O于K、H，則△OKH面積為

1

2

×KH×d=

1

2

×2×

9-d2

d≤

9

2

，所以△OKH面積的最大值

9

2

．

點評：本題給出圓內(nèi)經(jīng)過定點的互相垂直的兩條直線，求它們長度和的最大值．著重考查了垂徑定理、直線與圓的位置關(guān)系和運用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．