Question

已知{a_n}是首項(xiàng)為1的遞增等差數(shù)列且a₂²=S₃．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足bn=

2

anan+1

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8×（-1）ⁿ恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)出遞增等差數(shù)數(shù)列的公差，結(jié)合已知求得公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）把（1）中求得的通項(xiàng)公式代入bn=

2

anan+1

，利用裂項(xiàng)相消法求得T_n，再代入λT_n＜n+8×（-1）ⁿ分離λ，求出關(guān)于n的函數(shù)的最小值，則λ的范圍可求．

解答： 解：（1）∵遞增等差數(shù)列中，a₁=1，
設(shè)公差為d（d＞0），由a₂²=S₃，得
（1+d）²=3+3d，解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由bn=

2

anan+1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴Tn=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

．
不等式λT_n＜n+8×（-1）ⁿ恒成立，
等價(jià)于λ＜

2n+1

2n

[n+8×(-1)n]=

2n+1

2

+

8n+4

n

•(-1)n=n+

4

n

(-1)n+

1

2

+8•(-1)n對(duì)任意的n∈N^*恒成立，
當(dāng)n=1時(shí)，n+

4

n

(-1)n+

1

2

+8•(-1)n有最小值為-

21

2

．
∴λ＜-

21

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．