Question

7．已知a≠0，且a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{a}$$-\frac{1}{x}$的定義域?yàn)閇m，n]（n＞m＞0）時，值域恒是[m，n]，求a的范圍．

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{x}$+x在（0，+∞）上有兩個不同的解，從而解得．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{a}$$-\frac{1}{x}$的定義域?yàn)閇m，n]（n＞m＞0）時，值域恒是[m，n]；
∴方程f（x）=$\frac{1}{a}$$-\frac{1}{x}$=x在（0，+∞）上有兩個不同的解，
即$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{x}$+x在（0，+∞）上有兩個不同的解，
故$\frac{1}{a}$＞2，
故0$＜a＜\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的值域的求法及函數(shù)與方程的關(guān)系應(yīng)用．