Question

函數(shù)f（x）=x+x³（x∈R）當(dāng)0＜θ＜

π

2

時(shí)，f（asinθ）+f（1-a）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，1]
• B、（-∞，1）
• C、（1，+∞）
• D、（1，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先判斷函數(shù)的奇偶性，然后再結(jié)合單調(diào)性將給的不等式化歸為兩個(gè)函數(shù)值的大小比較問(wèn)題，從而構(gòu)造出關(guān)于θ的不等式恒成立，然后分離參數(shù)求a的取值范圍．

解答： 解：因?yàn)閒'（x）=1+3x²＞0，故f（x）=x+x³（x∈R）在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，
所以由f（asinθ）+f（1-a）＞0得f（asinθ）＞f（a-1），
從而asinθ＞a-1，即當(dāng)0＜θ＜

π

2

時(shí)，a＜-

1

sinθ-1

恒成立，所以a≤1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題可先利用奇函數(shù)及函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行解答．