Question

已知正項數(shù)列{a_n}的首項a₁=，函數(shù)f（x）=，g（x）=．
（1）若正項數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），證明：{}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若正項數(shù)列{a_n}滿足a_n+1≤f（a_n）（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n=，證明：b₁+b₂+…+b_n＜1；
（3）若正項數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=g（a_n），求證：|a_n+1-a_n|≤•（）^n-1．

Answer 1

證明：（1）∵a_n+1=f（a_n）=，所以=，
即
∴{}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，
，即．（3分）
（2）∵a_n+1≤f（a_n）=，a_n＞0，
∴，即，
當(dāng)n≥2時=
∴
∴．
當(dāng)n=1時，上式也成立，
∴，（n∈N^*）
∴b_n=≤，
∴b₁+b₂+…+b_n＜=1．（8分）
（3）∵a₁=，a₂=g（a₁）=，a₂-a₁=-=＞0．
又∵a_n+1-a_n=-=，
由迭代關(guān)系可知，a_n+1-a_n＞0，∴a_n≥a₁=．
又∵（2+a_n）（2+a_n-1）=（2+）（2+a_n-1）=5+4a_n-1≥7，
∴≤，
∴|a_n+1-a_n|=|a_n-a_n-1|≤|a_n-a_n-1|，
∴|a_n+1-a_n|≤|a_n-a_n-1|≤（）²|a_n-1-a_n-2|≤…≤（）^n-1|a₂-a₁|=（）^n-1．（13分）
分析：（1）利用a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），推出a_n+1與a_n的關(guān)系，然后推出{}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）通過a_n+1≤f（a_n）（n∈N^*），推出，利用b_n=，放大b_n，然后通過求和b₁+b₂+…+b_n證明結(jié)論．
（3）由題意推出a₂-a₁＞0．證明a_n+1-a_n＞0，數(shù)列是遞增數(shù)列，推出|a_n+1-a_n|與|a_n-a_n-1|的關(guān)系，通過放縮法證明即可．
點評：本題考查放縮法的應(yīng)用，等差關(guān)系的確定，數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．