證明:(1)∵a
n+1=f(a
n)=
,所以
=
,
即
∴{
}是以2為首項,1為公差的等差數(shù)列,
,即
.(3分)
(2)∵a
n+1≤f(a
n)=
,a
n>0,
∴
,即
,
當(dāng)n≥2時
=
∴
∴
.
當(dāng)n=1時,上式也成立,
∴
,(n∈N
*)
∴b
n=
≤
,
∴b
1+b
2+…+b
n<
=1
.(8分)
(3)∵a
1=
,a
2=g(a
1)=
,a
2-a
1=
-
=
>0.
又∵a
n+1-a
n=
-
=
,
由迭代關(guān)系可知,a
n+1-a
n>0,∴a
n≥a
1=
.
又∵(2+a
n)(2+a
n-1)=(2+
)(2+a
n-1)=5+4a
n-1≥7,
∴
≤
,
∴|a
n+1-a
n|=
|a
n-a
n-1|≤
|a
n-a
n-1|,
∴|a
n+1-a
n|≤
|a
n-a
n-1|≤(
)
2|a
n-1-a
n-2|≤…≤(
)
n-1|a
2-a
1|=
(
)
n-1.(13分)
分析:(1)利用a
n+1=f(a
n)(n∈N
*),推出a
n+1與a
n的關(guān)系,然后推出{
}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{a
n}的通項公式;
(2)通過a
n+1≤f(a
n)(n∈N
*),推出
,利用b
n=
,放大b
n,然后通過求和b
1+b
2+…+b
n證明結(jié)論.
(3)由題意推出a
2-a
1>0.證明a
n+1-a
n>0,數(shù)列是遞增數(shù)列,推出|a
n+1-a
n|與|a
n-a
n-1|的關(guān)系,通過放縮法證明即可.
點評:本題考查放縮法的應(yīng)用,等差關(guān)系的確定,數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.