已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應(yīng)的一個特征向量
.
e1
=
.
1 
1 
.
，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點（-1，2）變換成（9，15）．
（Ⅰ）求矩陣M．
（Ⅱ）求M的另一個特征值和其所對應(yīng)的一個特征向量．
分析：（1）先設(shè)矩陣M=
ab
cd
，這里a，b，c，d∈R，由二階矩陣M有特征值λ=3及對應(yīng)的一個特征向量
e1
及矩陣M對應(yīng)的變換將點（-1，2）換成（9，15）．得到關(guān)于a，b，c，d的方程組，即可求得矩陣M；
（2）由（1）知，矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ2-10λ+16，從而求得另一個特征值，設(shè)矩陣M的另一個特征向量是
e2
=
x 
y 
，解得特征向量
e2
的坐標之間的關(guān)系．
解答：解：（1）設(shè)M=
ab
cd
，則
ab
cd
 
1
1
=3
1
1
=
3
3
，故
a+b=3
c+d=3.

ab
cd
 
-1
2
=
9
15
，故
-a+2b=9
-c+2d=15.

聯(lián)立以上兩方程組解得a=-1，b=4，c=-3，d=6，
故M=
-14
-36
．
（2）由（1）知M=
-14
-36
，則矩陣M的特征多項式為f(λ)=
.
λ+1 -4
  3λ-6
.

=（λ+1）（λ-6）+12=λ2-5λ+6
令f（λ）=0，得矩陣M的特征值為2與3．
當λ=2時，
(λ+1)x-4y=0
3x+(λ-6)y=0
，故3x-4y=0
∴矩陣M的屬于特征值2的一個特征向量為
4 
3 
．
點評：本題主要考查了二階矩陣，以及矩陣M的特征值及其對應(yīng)的特征向量． 關(guān)鍵是寫出特征多項式，從而求得特征值．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應(yīng)的一個特征向量
e1
=
1
1
，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點（-1，2）變換成（3，0），求矩陣M．
（2）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
過點M（3，4），傾斜角為
π
6
的直線l與圓C：
x=2+5cosθ
y=1+5sinθ
（θ為參數(shù)）相交于A、B兩點，試確定|MA|•|MB|的值．
（3）選修4-5：不等式選講
已知實數(shù)a，b，c，d，e滿足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，試確定e的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知某圓的極坐標方程為：ρ2-42ρcos（θ-π4）+6=0．將極坐標方程化為普通方程；并選擇恰當?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程．
（2）已知二階矩陣M有特征值λ=8及對應(yīng)的一個特征向量e1=
.
1
1
.
，且矩陣M對應(yīng)的變換將點（-1，2）變換成
（-2，4）．求矩陣M的另一個特征值及對應(yīng)的一個特征向量e2的坐標之間的關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應(yīng)的一個特征向量e1=
1
1
，并且M對應(yīng)的變換將點（-1，2）變換成（9，15），求矩陣M．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二階矩陣M有特征值λ=8及對應(yīng)的一個特征向量
e1
=[
 
1
1
]，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點（-1，2）變換成（-2，4）．
（1）求矩陣M；
（2）求矩陣M的另一個特征值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應(yīng)的一個特征向量
e1
=
1
1
，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點（-1，2）變換成（3，0），求矩陣M．

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