Question

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩個定點(diǎn)F₁、F₂和動點(diǎn)P，F(xiàn)₁、F₂坐標(biāo)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），動點(diǎn)P滿足

|PF1|

|PF2|

=

2

2

，動點(diǎn)P的軌跡為曲線C，曲線C關(guān)于直線y=x的對稱曲線為曲線C′．
（1）求曲線的C′方程；
（2）若直線y=x+m-3與曲線C′交于A、B兩點(diǎn)，D的坐標(biāo)為（0，-3），△ABD的面積為

7

，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

2

2

，由此能求出曲線C'的方程．
（2）該圓的圓心為D（0，-3），到直線y=x+m-3的距離d為

|m|

2

，由），△ABD的面積為

7

，能求出m的值．

解答： 解：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
則

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

2

2

，
化簡得（x+3）²+y²=8，
所以曲線C的方程為（x+3）²+y²=8；…（4分）
曲線C是以（-3，0）為圓心，2

2

為半徑的圓，
曲線C'也應(yīng)該是一個半徑為2

2

的圓，
點(diǎn)（-3，0）關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3），
所以曲線C'的方程為x²+（y+3）²=8．…（7分）
（2）該圓的圓心為D（0，-3），
到直線y=x+m-3的距離d為d=

|0-(-3)+m-3|

12+(-1)2

=

|m|

2

，…（9分）S△ABO=

1

2

×d×|AB|=

1

2

×d×2

8-d2

=

(8- m2 2 )× m2 2

=

7

…（11分）
解得

m2

2

=1，或

m2

2

=7，
所以，m=±

2

，或m=±

14

．…（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查曲線的方程的求法，考查實數(shù)值的求法，考查直線與圓等知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力．