Question

某研究性學(xué)習(xí)小組對3月至7月連續(xù)100天晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進行研究，每天浸泡100顆種子的發(fā)芽情況統(tǒng)計如下表（1）：

表1
分組（單位：個）	頻數(shù)	頻率
[10，15）	5	0.050
[15，20）	20	0.200
[20，25）	①	0.350
[25，30）	30	②
[30，35）	10	0.100
合計	100	1.00

（Ⅰ）頻率分布表中的①，②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)？并補全頻率分布直方圖，作出頻率分布折線圖；根據(jù)頻率分布直方圖，估計100天里種子發(fā)芽的平均值；（8分）
（Ⅱ）下面是3月1日至5日每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)的詳細記錄：

表2
日期	3月1日	3月2日	3月3日	3月4日	3月2日
溫差（℃）	10	11	13	12	8
發(fā)芽數(shù)（顆）	23	25	30	26	16

（i）請根據(jù)3月2日至3月4日的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
（ii）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（i）中所得的線性回歸方程是否可靠？（6分）
（參考公式：

?

b

=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

，

a

=

.

y

-

b

.

x

）

Answer 1

考點：線性回歸方程

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）根據(jù)各組累積頻數(shù)等于樣本容量，可得①的值，進而根據(jù)頻率=

頻數(shù)

樣本容量

得到②的值，結(jié)合組距為5，矩形的高=

頻率

組距

計算出各組矩形的高，可得頻率分布折線圖；累加各組的組中值和頻率的積，可估計出100天里種子發(fā)芽的平均值；
（Ⅱ）（i）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，先做出x，y的平均數(shù)，即做出本組數(shù)據(jù)的樣本中心點，根據(jù)最小二乘法求出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程．
（ii）根據(jù)估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，就認為得到的線性回歸方程是可靠的，根據(jù)求得的結(jié)果和所給的數(shù)據(jù)進行比較，得到所求的方程是可靠的；

解答： 解：（Ⅰ）各組累積頻數(shù)等于樣本容量，
由100-（5+20+30+10）=35，可知：①中應(yīng)填35，
根據(jù)頻率=

頻數(shù)

樣本容量

，由

30

100

=0.30可知：②中應(yīng)填0.30，
根據(jù)矩形的高=

頻率

組距

，可得
各組數(shù)據(jù)在頻率分布直方圖中對應(yīng)矩形的高依次為：0.01，0.04，0.07，0.06，0.02，
故頻率分布直方圖和頻率分布折線圖如下圖所示：

由12.5×0.05×17.5×0.20+22.5×0.35+27.5×0.30+32.5×0.10=23.5得：
估計100天里種子發(fā)芽的平均值為23.5顆．
（Ⅱ）（i）由數(shù)據(jù)，求得

.

x

=12，

.

y

=27．
代入回歸系數(shù)公式解得

?

b

=

5

2

，
∴

?

a

=

.

y

-

?

b

.

x

=-3
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為

?

y

=

5

2

x-3；
（ii）當x=10時，

?

y

=22，|22-23|＜2；
當x=8時，

?

y

=17，|17-16|＜2
∴該研究所得到的線性回歸方程是可靠的；

點評：本題考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，考查估計驗算所求的方程是否是可靠的，是一個綜合題目．