已知函數(shù)f(x)=4
3
sin
x
2
cos
x
2
-2+4cos2(
π
2
+
x
2
)
（Ⅰ）若x∈[0，π]，求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）=0，求
2cos2
x
2
-sinx-1
2
sin(x+
π
4
)
的值．
分析：（Ⅰ）利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，結合x的范圍求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的最值求出最大值與最小值．
（Ⅱ）通過f（x）=0，求出tanx的值，化簡是表達式為tanx的形式，代入求值即可．
解答：解：（I）f(x)=4
3
sin
x
2
cos
x
2
-2+4cos2(
π
2
+
x
2
)
=2
3
sinx-2cosx
=4（
3
2
sinx-
1
2
cosx）
=4sin（x-
π
6
）．…（3分）
又∵x∈[0，π]，∴-
π
6
≤x-
π
6
≤
5π
6
，-2≤4sin(x-
π
6
)≤4，
f（x）min=-2，f（x）max=4．…（6分）
（II）由于f（x）=0，
∴2
3
sinx-2cosx=0，∴tanx=
3
3
．…（8分）
∴
2cos2
x
2
-sinx-1
2
sin(x+
π
4
)

=
cosx-sinx
2
(
2
2
sinx+
2
2
cosx)

=
cosx-sinx
sinx+cosx

=
1-tanx
1+tanx

=
1-
3
3
1+
3
3

=2-
3
…（12分）
點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的化簡求值，二倍角公式的應用，考查計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4(a-3)x+a+
1
2
(x＜0)
ax，(x≥0)
，若函數(shù)f（x）的圖象經過點（3，
1
8
），則a=
 
；若函數(shù)f（x）滿足對任意x1≠x2，
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0都有成立，那么實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4-x2
|x-3|-3
，則它是（　�。�
A、奇函數(shù)B、偶函數(shù)
C、既奇又偶函數(shù)D、非奇非偶函數(shù)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4-x2(x＞0)
2(x=0)
1-2x(x＜0)
，
（1）求f（a2+1）（a∈R），f（f（3））的值；
（2）當-4≤x＜3時，求f（x）取值的集合．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4•2x+2
2x+1
+x•cosx (-1≤x≤1)，且f（x）存在最大值M和最小值N，則M、N一定滿足（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4-x2(x＞0)
2(x=0)
1-2x(x＜0)
，
（1）畫出函數(shù)f（x）圖象；
（2）求f（a2+1）（a∈R），f（f（3））的值；
（3）當-4≤x＜3時，求f（x）取值的集合．

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