Question

已知等差數(shù)列{a_n}，公差d不為零，a₁=1，且a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足bn=

1

an•an+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)a₁和d，求出a₂、a₅、a₁₄再根據(jù)a₂、a₅、a₁₄是等比數(shù)列，求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）根據(jù)（1）求出數(shù)列{b_n}的通項公式，然后根據(jù)數(shù)列通項公式的特點選用裂項求和法進(jìn)行求和即可．

解答：解：（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，且a₂、a₅、a₁₄成等比數(shù)列，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d）即d=2或0（舍去）
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1；
（2）由（1）可得bn=

1

(2n-1)•(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Sn=b1+b2+…+bn=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

點評：本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的通項公式的求法，對于復(fù)雜數(shù)列的前n項和求法我們一般先求出數(shù)列的通項公式，再依據(jù)數(shù)列的特點采取具體的方法．屬于中檔題．