Question

已知二次函數(shù)r（x）=ax²-（2a-1）x+b（a，b為常數(shù)，a∈R，a≠0，b∈R）的一個(gè)零點(diǎn)是2-

1

a

．函數(shù)g（x）=lnx，設(shè)函數(shù)f（x）=r（x）-g（x）．
（Ⅰ）求b的值，當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，1]上的最小值；
（Ⅲ）記函數(shù)y=f（x）圖象為曲線C，設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線C上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)N．判斷曲線C在點(diǎn)N處的切線是否平行于直線AB？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由2-

1

a

是函數(shù)r（x）=ax²-（2a-1）x+b的零點(diǎn)可求得b=0，f′（x）=2ax+（1-2a）-

1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

，從而確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=0得x=-

1

2a

或x=1，討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，1]上的單調(diào)性，從而求最值；
（Ⅲ）設(shè)M（x₀，y₀），則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為x₀=

x1+x2

2

，從而求出直線AB的斜率k₁=

y2-y1

x2-x1

=

1

x1-x2

[a（

x

2 1

-

x

2 2

）]+（1-2a）（x₁-x₂）+lnx₂-lnx₁]=a（x₁+x₂）+（1-2a）+

lnx2-lnx1

x1-x2

，切線斜率k₂=f′（x₀）=2ax₀+（1-2a）-

1

x0

=a（x₁+x₂）+（1-2a）-

2

x1+x2

，假設(shè)相等，即

lnx2-lnx1

x1-x2

=-

2

x1+x2

，從而得到ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

，令

x2

x1

=t＞1得lnt=

2(t-1)

t+1

，令g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

（t＞1），從而討論函數(shù)的性質(zhì)及可．

解答： 解：（Ⅰ）由2-

1

a

是函數(shù)r（x）=ax²-（2a-1）x+b的零點(diǎn)可求得b=0．
f′（x）=2ax+（1-2a）-

1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

，
因?yàn)閍＞0，x＞0，所以2ax+1＞0，解f′（x）＞0，得x＞1，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=0得x=-

1

2a

或x=1，
①當(dāng)-

1

2a

＞1，即-

1

2

＜a＜0時(shí)，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
所以f（x）在[

1

2

，1]上的最小值為f（1）=1-a．
②當(dāng)

1

2

≤-

1

2a

≤1，即-1≤a≤-

1

2

時(shí)，
f（x）在[

1

2

，-

1

2a

]上是減函數(shù)，在[-

1

2a

，1]上是增函數(shù)，
所以f（x）的最小值為f（-

1

2a

）=1-

1

4a

+ln（-2a）．
③當(dāng)-

1

2a

＜

1

2

，即a＜-1時(shí)，f（x）在[

1

2

，1]上是增函數(shù)，
所以f（x）的最小值為f（

1

2

）=

1

2

-

3

4

a+ln2．
綜上，函數(shù)f（x）在[

1

2

，1]上的最小值f_min（x）=

1 2 - 3 4 a+ln2，a＜-1 1- 1 4a +ln(-2a)，-1≤a≤- 1 2 1-a，- 1 2 ＜a＜0

，
（Ⅲ）設(shè)M（x₀，y₀），則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為x₀=

x1+x2

2

，
直線AB的斜率k₁=

y2-y1

x2-x1

=

1

x1-x2

[a（

x

2 1

-

x

2 2

）]+（1-2a）（x₁-x₂）+lnx₂-lnx₁]
=a（x₁+x₂）+（1-2a）+

lnx2-lnx1

x1-x2

，
曲線C在點(diǎn)N處的切線斜率k₂=f′（x₀）=2ax₀+（1-2a）-

1

x0

=a（x₁+x₂）+（1-2a）-

2

x1+x2

，
假設(shè)曲線C在點(diǎn)N處的切線平行于直線AB，則k₁=k₂，
即

lnx2-lnx1

x1-x2

=-

2

x1+x2

，
所以ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x1+x2

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

，
不妨設(shè)x₁＜x₂，

x2

x1

=t＞1，
則lnt=

2(t-1)

t+1

，
令g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

（t＞1），
g′（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
所以g（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
又g（1）=0，所以g（t）＞0，即lnt=

2(t-1)

t+1

不成立，
所以曲線C在點(diǎn)N處的切線不平行于直線AB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于難題．