Question

已知ABCD是矩形，AD=4，AB=2，E、F分別是線段AB、BC的中點(diǎn)，PA⊥面ABCD．
（1）證明：PF⊥FD；
（2）在PA上是否存在點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明：連接AF，要證PF⊥FD，只要證FD⊥平面PAF，只要證PA⊥FD，AF⊥FD即可．．
（2）取AD中點(diǎn)I，取AI中點(diǎn)H，連接BI，EH，EG，GH，易知四邊形BFDI是平行四邊形，所以BI∥FD，再由E、H分別是AB、AI的中點(diǎn)，得到EH∥BI，由公理4可得EH∥FD，所以EH∥平面PFD，由，所以GH∥PD，有HG∥平面PFD，轉(zhuǎn)化為平面EHG∥平面PFD
得到EG∥平面PFD．
解答：解：（1）證明：連接AF，
∵在矩形ABCD中，AD=4，AB=2，F(xiàn)是線段BC的中點(diǎn)，
∴FC=CD，∴△FCD是等腰直角三角形，
∴∠DFC=45°，同理可得∠AFB=45°，
∴AF⊥FD．
又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥FD，∵AF∩PA=A
∴FD⊥平面PAF，∴PF⊥FD．（6分）

（2）在AP上存在點(diǎn)G，
且，使得EG∥平面PFD，
證明：取AD中點(diǎn)I，取AI中點(diǎn)H，連接BI，EH，EG，GH，
∵，∴四邊形BFDI是平行四邊形，
∴BI∥FD
又∵E、H分別是AB、AI的中點(diǎn)，
∴EH∥BI，∴EH∥FD
而EH?平面PFD，∴EH∥平面PFD∵，
∴GH∥PD
而GH?平面PFD，
∴HG∥平面PFD
又∵EH∩GH=H
∴平面EHG∥平面PFD
∴EG∥平面PFD
從而G為所求．
點(diǎn)評：本題主要考查線線，線面，面面平行，垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，屬中檔題．