試用數(shù)學歸納法證明：對任意正整數(shù)n，都有13+23+…+n3=（1+2+…+n）2．
考點：數(shù)學歸納法
專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法
分析：應用數(shù)學歸納法證明問題，①驗證n=1時命題成立；②假設(shè)n=k時，命題成立，從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，證明n=k+1時也成立，從而證明命題正確．
解答： （本題8分）
證明：①當n=1時，左邊=13=1，右邊=12=1，等式成立．
②假設(shè)當n=k（k∈N*，k≥1）時，等式成立，即13+23+…+k3=（1+2+…+k）2，
則當n=k+1時，
（1+2+…+k+（k+1））2=（1+2+…+k）2+2（k+1）（1+2+…+k）+（k+1）2
=13+23+…+k3+(k+1)(2•
1+k
2
•k+k+1)
=13+23+…+k3+（k+1）3，
這就是說n=k+1時等式也成立．
從而①②可知對任意正整數(shù)n，都有13+23+…+n3=（1+2+…+n）2均成立．
點評：考查數(shù)學歸納法證明有關(guān)正整數(shù)命題的方法步驟，特別是②是關(guān)鍵，是核心，也是數(shù)學歸納法證明命題的難點所在，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面是正方形ABCD，PA=AB=2．
（1）求二面P-BD-A角的余弦值；
（2）求四棱錐P-ABCD的外接球的表面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知sin（45°+α）sin（45°-α）=-
1
4
，（0°＜α＜90°）．
（1）求α的值；
（2）求sin（α+10°）[1-
3
tan（α-10°）]的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．若極坐標方程為ρcosθ=4的直線與曲線
x=t2
y=t3
（t為參數(shù)）相交于A，B兩點，則|AB|=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知|
a
|=3，
b
=（4，2），若
a
∥
b
，求
a
的坐標；
（2）已知
a
=（2，3），
b
=（1，2），若
a
+λ
b
與
a
的夾角不為銳角，求λ的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點，焦點在y軸上，焦距為16，離心率為
4
3
，求雙曲線的標準方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為8的正三角形，SA=SC=2
7
，二面角S-AC-B為60°
（1）求證：AC⊥SB；
（2）求三棱錐S-ABC的體積；
（3）求二面角S-BC-A的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，一塊邊長為10的正方形鐵片，從它的四個角各剪去一個邊長為x的小正方形，把剩下的鐵片做成一個沒有蓋子的盒子，求當x是多少時，盒子的容積最大．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

我們把一系列向量
ai
（i=1，2，…，n…）排成一列，稱為向量列，記作{
an
}，又設(shè)
an
=（xn，yn），假設(shè)向量列{
an
}滿足：
a1
=（
2
，
2
），
an
=
1
2
2
（
3
xn-1-yn-1，xn-1+
3
yn-1）（n≥2）．
（1）證明數(shù)列{|
an
|}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)θn表示向量
an
，
an+1
（n∈N*）間的夾角，若bn=sin2nθn，記{bn}的前n項和為Sn，求S3m；
（3）設(shè)f（x）是R上不恒為零的函數(shù)，且對任意的a，b∈R，都有f（a•b）=af（b）+bf（a），若f（2）=2，un=
f(
|
an
|2
8
)
n
（n∈N*），求數(shù)列{un}的前n項和Tn．

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