Question

試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意正整數(shù)n，都有1³+2³+…+n³=（1+2+…+n）²．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題，①驗(yàn)證n=1時(shí)命題成立；②假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，證明n=k+1時(shí)也成立，從而證明命題正確．

解答： （本題8分）
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1³=1，右邊=1²=1，等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*，k≥1）時(shí)，等式成立，即1³+2³+…+k³=（1+2+…+k）²，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
（1+2+…+k+（k+1））²=（1+2+…+k）²+2（k+1）（1+2+…+k）+（k+1）²
=13+23+…+k3+(k+1)(2•

1+k

2

•k+k+1)
=1³+2³+…+k³+（k+1）³，
這就是說(shuō)n=k+1時(shí)等式也成立．
從而①②可知對(duì)任意正整數(shù)n，都有1³+2³+…+n³=（1+2+…+n）²均成立．

點(diǎn)評(píng)：考查數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)正整數(shù)命題的方法步驟，特別是②是關(guān)鍵，是核心，也是數(shù)學(xué)歸納法證明命題的難點(diǎn)所在，屬中檔題．