Question

【題目】已知三棱錐（如圖一）的平面展開(kāi)圖（如圖二）中，四邊形為邊長(zhǎng)等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)且，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，證明， ，平面，然后證明平面平面．

（Ⅱ）以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角的余弦值即可．

解：（Ⅰ）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，．

由題意，得，， ．

在中，，為的中點(diǎn)， ，

在中，，，， ，

．

，，平面，平面，

平面，平面平面．

（Ⅱ）由平面，， ，，

于是以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系，

則， ， ， ，， ， ， ， ．

設(shè)平面的法向量為，

則由得： ．令，得，，即．

設(shè)平面的法向量為，

由得： ，令，得，z＝1，即．

．由圖可知，二面角的余弦值為．