Question

（本小題滿分14分）如圖，在邊長(zhǎng)為的菱形中，，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，，沿將△翻折到△，連接，得到如圖的五棱錐，且.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正切值.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由，，可證平面，進(jìn)而可證平面；（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，再計(jì)算平面和平面的法向量，進(jìn)而可算出二面角的平面角的余弦值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即可得二面角的平面角的正弦值.

試題解析：（1）證明：∵點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，

∴∥. 1分

∵菱形的對(duì)角線互相垂直，

∴.

∴.

∴，. 2分

∵平面，平面，，

∴平面. 3分

∴平面. 4分

（2）解法1：設(shè)，連接，

∵，

∴△為等邊三角形.

∴，，，. 5分

在R t△中，，

在△中，，

∴. 6分

∵，，平面，平面，

∴平面. 7分

過作，垂足為，連接，

由（1）知平面，且平面，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面. 8分

∵平面，

∴. 9分

∴為二面角的平面角. 10分

在Rt△中，，

在Rt△和Rt△中，，

∴Rt△～Rt△. 11分

∴.

∴. 12分

在Rt△中， . 13分

∴二面角的正切值為. 14分

解法2：設(shè)，連接，

∵，

∴△為等邊三角形.

∴，，，. 5分

在R t△中，，

在△中，，

∴. 6分

∵，，平面，平面，

∴平面. 7分

以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，. 8分

∴，.

設(shè)平面的法向量為，

由，，得 9分

令，得，.

∴平面的一個(gè)法向量為. 10分

由（1）知平面的一個(gè)法向量為， 11分

設(shè)二面角的平面角為，

則. 12分

∴，. 13分

∴二面角的正切值為. 14分

考點(diǎn)：1、線面垂直；2、二面角；3、空間向量及坐標(biāo)運(yùn)算；4、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系 考點(diǎn)2：異面直線所成的角 考點(diǎn)3：線面所成的角 試題屬性

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