設(shè)橢圓的左焦點為,直線與軸交于點,過點且傾斜角為30°的直線交橢圓于兩點.
(Ⅰ)求直線和橢圓的方程;
(Ⅱ)求證:點在以線段為直徑的圓上;
(Ⅲ)在直線上有兩個不重合的動點,以為直徑且過點的所有圓中,求面積最小的圓的半徑長.
(1)
(2)(2)把直線與橢圓方程聯(lián)立,消去y,設(shè)出A,B的坐標(biāo),則可求得x1+x2=-3x1x2,進而分別表示出F1A和AF1B斜率,進而求得kF1A?kF1B的值
(3)
【解析】
試題分析:解: (Ⅰ)可知直線 2分
由,,解得,
所以,橢圓的方程為. 4分
(Ⅱ)聯(lián)立方程組 整理得:,
設(shè),則,
因為,所以
所以點在以線段為直徑的圓上. 10分
(3)面積最小的圓的半徑長應(yīng)是點 到直線的距離. 11分
設(shè)為 即面積最小的圓的半徑長為 13分
考點:直線與圓錐曲線
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年浙江省高三5月模擬考試理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的左焦點為,右焦點,直線過點且垂直于橢圓的長軸,動直線垂
直于點,線段垂直平分線交于點,求點的軌跡的方程;
(3)當(dāng)P不在軸上時,在曲線上是否存在兩個不同點C、D關(guān)于對稱,若存在,
求出的斜率范圍,若不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:河北省高三下學(xué)期第二次考試數(shù)學(xué)(文) 題型:解答題
(本題滿分12分)已知橢圓的離心率為,
直線與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的左焦點為F1,右焦點為F2,直線過點F1,且垂直于橢圓的長軸,動直
線垂直于點P,線段PF2的垂直平分線交于點M,求點M的軌跡C2的方程;
(Ⅲ)若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦,垂足為右焦點F2,求四邊形ABCD的面積
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:河北省高三下學(xué)期第二次考試數(shù)學(xué)(文) 題型:解答題
(本題滿分12分)已知橢圓的離心率為,
直線與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的左焦點為F1,右焦點為F2,直線過點F1,且垂直于橢圓的長軸,動直
線垂直于點P,線段PF2的垂直平分線交于點M,求點M的軌跡C2的方程;
(Ⅲ)若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦,垂足為右焦點F2,求四邊形ABCD的面積
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012屆遼寧省營口市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
設(shè),分別為橢圓的左、右焦點,過的直
線與橢圓 相交于,兩點,直線的傾斜角為, 到直線的距離為;
(1)求橢圓的焦距;
(2)如果,求橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
( 本小題滿分12分)
設(shè),分別為橢圓的左、右焦點,過的直
線與橢圓 相交于,兩點,直線的傾斜角為,到直線的距離為;
(1)求橢圓的焦距;
(2)如果,求橢圓的方程.
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