Question

11．已知f（n）是平面區(qū)域I_n：$\left\{\begin{array}{l}{y≤-nx+3n}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$（x，y∈R，n∈N^*）內(nèi)的整點（橫縱坐標都是整數(shù)的點）的個數(shù)，記a_n=2ⁿf（n），數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n
（1）求數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n
（2）若對于任意n∈N^*，$\frac{（{S}_{n+1}-6）f（n+1）}{{4}^{n+1}}$≤c恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由x＞0，y＞0，3n-nx＞0知0＜x＜3，易知x=1，或x=2，即可求出f（1）=3，f（2）=6，f（3）=9．由x＞0，y＞0，3n-nx＞0知0＜x＜3，易知x=1，或x=2，D_n內(nèi)的整點在直線x=1和x=2上，從而可證數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=3n（n∈N^*）．運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，可得前n項和為S_n；
（2）若對于任意n∈N^*，$\frac{（{S}_{n+1}-6）f（n+1）}{{4}^{n+1}}$≤c恒成立，即為$\frac{9n（n+1）}{{2}^{n}}$≤c恒成立，可令b_n=$\frac{9n（n+1）}{{2}^{n}}$，求出單調(diào)性，可得最大值，即可得到c的范圍．

解答 解：（1）f（1）=3，f（2）=6，f（3）=9．
由x＞0，-nx+3n≥y＞0，得0＜x＜3，
∴x=1或x=2．
∴I_n內(nèi)的整點在直線x=1和x=2上．
記直線y=-nx+3n為l，l與直線x=1，x=2的交點的縱坐標分別為y₁，y₂，
則y₁=-n+3n=2n，y₂=-2n+3n=n，
∴f（n）=3n；
a_n=2ⁿf（n）=3n•2ⁿ，
前n項和為S_n=3•2+6•2²+9•2³+…+3n•2ⁿ，
2S_n=3•2²+6•2³+9•2⁴+…+3n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，-S_n=6+3（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）-3n•2ⁿ⁺¹，
=6+3•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-3n•2ⁿ⁺¹，
化簡可得，S_n=6+3（n-1）•2ⁿ⁺¹；
（2）若對于任意n∈N^*，$\frac{（{S}_{n+1}-6）f（n+1）}{{4}^{n+1}}$≤c恒成立，
即為$\frac{9n（n+1）}{{2}^{n}}$≤c恒成立，
可令b_n=$\frac{9n（n+1）}{{2}^{n}}$，
由$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{n+2}{2n}$，
當n=1，2時，b₁＜b₂=b₃，
當n≥3時，b₃＞b₄＞b₅＞…，
則b₂=b₃為最大值$\frac{27}{2}$．
則c≥$\frac{27}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的求和，考查數(shù)列通項公式的確定，考查數(shù)列單調(diào)性與最值的綜合應(yīng)用，屬于難題．