Question

6．已知函數(shù)f（x）=x³-3a²x+2a²+1（a≥0）
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，3）內(nèi)極值點的個數(shù)；
（Ⅲ）證明：當(dāng)0≤x≤1時，f（x）+|1-a²|≥1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點的個數(shù)即可；
（Ⅲ）通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合x的范圍證明結(jié)論即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3（x-a）（x+a），（a≥0），
a=0時，f′（x）≥0恒成立，
f（x）在R遞增，無遞減區(qū)間；
a＞0時，x∈（-∞，-a），（a，+∞）時，f′（x）＞0，
x∈（-a，a）時，f′（x）＜0，
故f（x）在（-∞，-a）遞增，在（-a，a）遞減，在（a，+∞）遞增；
（Ⅱ）由（Ⅰ），a=0時，f（x）在R遞增，函數(shù)無極值點，
a＞0時，由（Ⅰ）得：x=-a是極大值點，x=a是極小值點，
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{-2＜-a＜3}\\{-2＜a＜3}\\{a＞0}\end{array}\right.$即0＜a＜2時，f（x）在（-2，3）內(nèi)有2個極值點，
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{-2＜-a＜3}\\{a≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-a≤-2}\\{-2＜a＜3}\end{array}\right.$即2≤a＜3時，
f（x）在（-2，3）內(nèi)有1個極值點，
a≥3時，x=a和x=-a均不在區(qū)間（-2，3）內(nèi)，此時f（x）無極值點，
綜上，a=0或a≥3時，f（x）在（-2，3）無極值點，
2≤a＜3時，f（x）在（-2，3）內(nèi)有1個極值點，
0＜a＜2時，f（x）在（-2，3）內(nèi)有2個極值點；
（Ⅲ）證明，a=0時，∵0≤x≤1，
∴f（x）+|1-a²|=x³+2＞1，
0＜a＜1時，由（Ⅰ）（Ⅱ）得，
f（x）在（-a，a）遞減，在（a，1）遞增，且x=a是極小值點，
故0≤x≤1時，f（x）+|1-a²|≥f（a）+|1-a²|=-2a³+a²+2=（1-a³）+（a²-a³）+1＞1，
a≥1時，由（Ⅱ）得，f（x）在（-a，a）遞減，
故0≤x≤1時，f（x）+|1-a²|≥f（1）+|1-a²|=1，
綜上，0≤x≤1時，f（x）+|1-a²|≥1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．