19.如圖,已知EA⊥平面ABC,F(xiàn)C⊥平面ABC,△ABC是正三角形,D是BC的中點(diǎn),且AB=AE=1,CF=2.
(1)求證:AD⊥平面BCF;
(2)求直線DF與平面BEF所成角的正弦值.

分析 (1)推導(dǎo)出AD⊥FCAD⊥BC,由此能證明AD⊥平面BCF.
(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD所在直線為x軸,過A與BC平行的直線為y軸,AE所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線DF與平面BEF所成角的正弦值.

解答 證明:(1)∵FC⊥平面ABC,AD?平面ABC,∴AD⊥FC,
∵△ABC是正三角形,D是BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC,
∵FC∩BC=C,∴AD⊥平面BCF.
解:(2)如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD所在直線為x軸,
過A與BC平行的直線為y軸,AE所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
D($\frac{\sqrt{3}}{2}$,0,0),F(xiàn)($\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},2$),B($\frac{\sqrt{3}}{2}$,-$\frac{1}{2}$,0),E(0,0,1),
$\overrightarrow{DF}$=(0,$\frac{1}{2},2$),$\overrightarrow{BE}$=(-$\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},1$),$\overrightarrow{EF}$=($\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},1$),
設(shè)平面BEF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0}\end{array}\right.$,取y=2,得$\overrightarrow{n}$=(0,2,-1),
設(shè)直線DF與平面BEF所成角為θ.
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{17}{4}}•\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{85}}{85}$.
∴直線DF與平面BEF所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{85}}{85}$.

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明,考查線面角的正弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

9.已知雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;\;(b>0)$的離心率為2,則b=$\sqrt{3}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

10.已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為正方形,且∠A1AB=∠A1AD=60°,則當(dāng)$\frac{{A}_{1}A}{AB}$=$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$時(shí),AC1⊥A1B.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

7.${({\sqrt{x}-\frac{1}{{2\root{4}{x}}}})^8}$的展開式中的有理項(xiàng)共有3.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn),則直線EF和BC1所成角的度數(shù)是(  )
A.30°B.45°C.60°D.90°

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

4.已知sinα=$\frac{2}{3}$,α∈($\frac{π}{2}$,$\frac{3π}{2}$),則cos(π-α)等于(  )
A.-$\frac{\sqrt{5}}{3}$B.-$\frac{1}{9}$C.$\frac{1}{9}$D.$\frac{\sqrt{5}}{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.設(shè)f(x)可導(dǎo)且下列各極限均存在,則( 。┏闪ⅲ
A.$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f(x)-f(0)}{x}$=f′(0)B.$\underset{lim}{h→0}$$\frac{f(a+2h)-f(a)}{h}$=f′(a)
C.$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f({x}_{0})-f({x}_{0}-△x)}{△x}$=f′(x0D.$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f({x}_{0}+△x)-f({x}_{0}-△x)}{2△x}$=f′(x0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

18.設(shè)直線l:3x+4y+a=0,圓C:(x-2)2+y2=22,若在圓C上存在兩點(diǎn)P,Q,在直線l上存在一點(diǎn)M,使得∠PMQ=90°,則a的取值范圍是[-16,4].

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

19.某市5年中的煤氣消耗量與使用煤氣戶數(shù)的歷史資料如下:
年份20062007200820092010
x用戶(萬戶)11.11.51.61.8
y(萬立方米)6791112
(1)檢驗(yàn)是否線性相關(guān);
(2)求回歸方程;
(3)若市政府下一步再擴(kuò)大兩千煤氣用戶,試預(yù)測該市煤氣消耗量將達(dá)到多少?
(  $b=\frac{{\sum_{i=1}^n{({x_i}-\overline x)\;({y_i}-\overline y)}}}{{\sum_{i=1}^n{{{({x_i}-\overline x)}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x}\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}a=\overline y-b\overline x$)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案