Question

如圖（5），已知為不在同一直線上的三點，且_，

_.

(1)求證:平面//平面；

(2)若平面，且,,

求證：A₁C丄平面AB₁C₁

(3)在（2）的條件下，求二面角C₁-AB₁ -C的余弦值.

Answer 1

解：（1）證明：∵且

∴四邊形是平行四邊形，

∴,∵面，面

∴平面，

同理可得平面,又,

∴平面//平面

(2)證法1：

∵平面，平面∴平面平面，

平面平面=，

∵,,   ∴ ∴ 

∴平面

∴，∵∴

又,得為正方形，∴

又,

∴A₁C丄平面AB₁C₁

【證法2：∵,,   ∴ ∴，

∵平面，  ∴平面

以點C為原點，分別以AC、CB、CC₁所在的直線為x、y、z軸建立空間

直角坐標系如圖示，由已知可,

,

則,

∵   ∴

又∴平面.

(3)由（2）得

設平面的法向量，則由得，

令得

由（2）知是平面的法向量，∴,

即二面角C₁-AB₁ -C的余弦值為.

（其它解法請參照給分）