Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點及直線，曲線是滿足下列兩個條件的動點的軌跡：①其中是到直線的距離；

②

 (1) 求曲線的方程;

(2) 若存在直線與曲線、橢圓均相切于同一點，求橢圓離心率的取值范圍.

Answer 1

解：（1），

        ，    

由①得：

，

      即          

將代入②得：，

解得：

所以曲線的方程為：           

（2）(解法一)由題意，直線與曲線相切，設(shè)切點為，

則直線的方程為，

即        

       將代入橢圓 的方程，并整理得：

由題意，直線與橢圓相切于點，則

，

即       

又 即 聯(lián)解得：     

由及得

故，   

得又故

所以橢圓離心率的取值范圍是   

（2）(解法二)設(shè)直線與曲線、橢圓 均相切于同一點則

由知;

由知,

故       

聯(lián)解,得

由及得

故，  

得又故

所以橢圓離心率的取值范圍是