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已知函數,其中a為常數.

(1) 當時,求的最大值;

(2) 若在區(qū)間(0,e]上的最大值為-3,求a的值;

(3) 當 時,試推斷方程=是否有實數解.

 解:(1) 當a=-1時,f(x)=-x+lnx,

f′(x)=-1+

當0<x<1時,f′(x)>0;當x>1時,f′(x)<0.

∴f(x)在(0,1)上是增函數,在(1,+∞)上是減函數,=f(1)=-1

(2) ∵f′(x)=a+,x∈(0,e],

① 若a≥,則f′(x)≥0, f(x)在(0,e]上增函數

=f(e)=ae+1≥0.不合題意

② 若a<,則由f′(x)>0>0,即0<x<

由f(x)<0<0,即<x≤e.  從而f(x)在上增函數,在為減函數

=f=-1+ln

令-1+ln=-3,則ln=-2∴=,即a=.

 ∵<,

∴a=為所求

(3) 由(Ⅰ)知當a=-1時=f(1)=-1,

∴|f(x)|≥1

又令g(x)=,g′(x)=,令g′(x)=0,得x=e,

當0<x<e時,g′(x)>0,g(x)  在(0,e)單調遞增;當x>e時,g′(x)<0,g(x) 在(e,+∞)單調遞減∴=g(e)= <1, ∴g(x)<1 

∴|f(x)|>g(x),即|f(x)|>     ∴方程|f(x)|=沒有實數解.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
1a-x
-1
(其中a為常數,x≠a).利用函數y=f(x)構造一個數列{xn},方法如下:
對于給定的定義域中的x1,令x2=f(x1),x3=f(x2),…,xn=f(xn-1),…
在上述構造過程中,如果xi(i=1,2,3,…)在定義域中,那么構造數列的過程繼續(xù)下去;如果xi不在定義域中,那么構造數列的過程就停止.
(Ⅰ)當a=1且x1=-1時,求數列{xn}的通項公式;
(Ⅱ)如果可以用上述方法構造出一個常數列,求a的取值范圍;
(Ⅲ)是否存在實數a,使得取定義域中的任一實數值作為x1,都可用上述方法構造出一個無窮數列{xn}?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數y=f(x)滿足f(a-tanθ)=cotθ-1,(其中,a、θ∈R均為常數)
(1)求函數y=f(x)的解析式;
(2)利用函數y=f(x)構造一個數列{xn},方法如下:
對于給定的定義域中的x1,令x2=f(x1),x3=f(x2),…,xn=f(xn-1),…
在上述構造過程中,如果xi(i=1,2,3,…)在定義域中,構造數列的過程繼續(xù)下去;如果xi不在定義域中,則構造數列的過程停止.
①如果可以用上述方法構造出一個常數列{xn},求a的取值范圍;
②如果取定義域中的任一值作為x1,都可以用上述方法構造出一個無窮數列{xn},求a實數的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2006•石景山區(qū)一模)已知函數y=f(x)對于任意θ≠
2
(k∈Z),都有式子f(a-tanθ)=cotθ-1成立(其中a為常數).
(Ⅰ)求函數y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)利用函數y=f(x)構造一個數列,方法如下:
對于給定的定義域中的x1,令x2=f(x1),x3=f(x2),…,xn=f(xn-1),…在上述構造過程中,如果xi(i=1,2,3,…)在定義域中,那么構造數列的過程繼續(xù)下去;如果xi不在定義域中,那么構造數列的過程就停止.
(。┤绻梢杂蒙鲜龇椒嬙斐鲆粋常數列,求a的取值范圍;
(ⅱ)是否存在一個實數a,使得取定義域中的任一值作為x1,都可用上述方法構造出一個無窮數列{xn}?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由;
(ⅲ)當a=1時,若x1=-1,求數列{xn}的通項公式.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1+kx),其中a>0且a≠1.
(Ⅰ)當k=-2時,求函數h(x)=f(x)+g(x)的定義域;
(Ⅱ)若函數H(x)=f(x)-g(x)是奇函數(不為常函數),求實數k的值.

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科目:高中數學 來源:2010年高考數學新題型解析選編(7)(解析版) 題型:解答題

已知函數y=f(x)滿足f(a-tanθ)=cotθ-1,(其中,a、θ∈R均為常數)
(1)求函數y=f(x)的解析式;
(2)利用函數y=f(x)構造一個數列{xn},方法如下:
對于給定的定義域中的x1,令x2=f(x1),x3=f(x2),…,xn=f(xn-1),…
在上述構造過程中,如果xi(i=1,2,3,…)在定義域中,構造數列的過程繼續(xù)下去;如果xi不在定義域中,則構造數列的過程停止.
①如果可以用上述方法構造出一個常數列{xn},求a的取值范圍;
②如果取定義域中的任一值作為x1,都可以用上述方法構造出一個無窮數列{xn},求a實數的值.

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