已知函數,其中a為常數.
(1) 當時,求的最大值;
(2) 若在區(qū)間(0,e]上的最大值為-3,求a的值;
(3) 當 時,試推斷方程=是否有實數解.
解:(1) 當a=-1時,f(x)=-x+lnx,
f′(x)=-1+
當0<x<1時,f′(x)>0;當x>1時,f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上是增函數,在(1,+∞)上是減函數,=f(1)=-1
(2) ∵f′(x)=a+,x∈(0,e],∈
① 若a≥,則f′(x)≥0, f(x)在(0,e]上增函數
∴=f(e)=ae+1≥0.不合題意
② 若a<,則由f′(x)>0>0,即0<x<
由f(x)<0<0,即<x≤e. 從而f(x)在上增函數,在為減函數
∴=f=-1+ln
令-1+ln=-3,則ln=-2∴=,即a=.
∵<,
∴a=為所求
(3) 由(Ⅰ)知當a=-1時=f(1)=-1,
∴|f(x)|≥1
又令g(x)=,g′(x)=,令g′(x)=0,得x=e,
當0<x<e時,g′(x)>0,g(x) 在(0,e)單調遞增;當x>e時,g′(x)<0,g(x) 在(e,+∞)單調遞減∴=g(e)= <1, ∴g(x)<1
∴|f(x)|>g(x),即|f(x)|> ∴方程|f(x)|=沒有實數解.
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1 | a-x |
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科目:高中數學 來源:2010年高考數學新題型解析選編(7)(解析版) 題型:解答題
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