(2006•石景山區(qū)一模)已知函數(shù)y=f(x)對(duì)于任意θ≠
2
(k∈Z),都有式子f(a-tanθ)=cotθ-1成立(其中a為常數(shù)).
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)利用函數(shù)y=f(x)構(gòu)造一個(gè)數(shù)列,方法如下:
對(duì)于給定的定義域中的x1,令x2=f(x1),x3=f(x2),…,xn=f(xn-1),…在上述構(gòu)造過(guò)程中,如果xi(i=1,2,3,…)在定義域中,那么構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程繼續(xù)下去;如果xi不在定義域中,那么構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程就停止.
(。┤绻梢杂蒙鲜龇椒(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列,求a的取值范圍;
(ⅱ)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)a,使得取定義域中的任一值作為x1,都可用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{xn}?若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(ⅲ)當(dāng)a=1時(shí),若x1=-1,求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.
分析:(Ⅰ)換元法:令x=a-tanθ(θ≠
2
),則tanθ=a-x,代入可得f(x)表達(dá)式;
(Ⅱ)(ⅰ)根據(jù)題意,只需當(dāng)x≠a時(shí),方程f(x)=x有解,亦即方程x2+(1-a)x+1-a=0有不等于a的解,由△≥0可求得a的取值范圍;(ⅱ)假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)a,滿足要求,可知,
x+1-a
a-x
=a在R中無(wú)解,亦即當(dāng)x≠a時(shí),方程(1+a)x=a2+a-1無(wú)實(shí)數(shù)解,由此可得
1+a=0
a2+a-1≠0.
,從而可得a值;(iii)當(dāng)a=1時(shí),由f(x)=
x
1-x
,得xn+1=
xn
1-xn
.兩邊取倒數(shù)可得
1
xn+1
=
1-xn
xn
=
1
xn
-1
,可知數(shù)列{
1
xn
}是首項(xiàng)為
1
x1
=-1
,公差d=-1的等差數(shù)列從而可得
1
xn
解答:解:(Ⅰ)令x=a-tanθ(θ≠
2
),則tanθ=a-x,而cotθ=
1
tanθ
=
1
a-x

故f(x)=
1
a-x
-1

∴y=f(x)=
x+1-a
a-x
(x≠a).         
(Ⅱ)(。└鶕(jù)題意,只需當(dāng)x≠a時(shí),方程f(x)=x有解,
亦即方程x2+(1-a)x+1-a=0有不等于a的解.
將x=a代入方程左邊,左邊為1,與右邊不相等.故方程不可能有解x=a.
由△=(1-a)2-4(1-a)≥0,得 a≤-3或a≥1,
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-3]∪[1,+∞).       
(ⅱ)假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)a,使得取定義域中的任一值作為x1,都可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{xn},
那么根據(jù)題意可知,
x+1-a
a-x
=a在R中無(wú)解,亦即當(dāng)x≠a時(shí),方程(1+a)x=a2+a-1無(wú)實(shí)數(shù)解.
由于x=a不是方程(1+a)x=a2+a-1的解,
所以對(duì)于任意x∈R,方程(1+a)x=a2+a-1無(wú)實(shí)數(shù)解,
因此
1+a=0
a2+a-1≠0.
,解得a=-1.
∴a=-1即為所求a的值.         
(ⅲ)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=
x
1-x
,所以,xn+1=
xn
1-xn

兩邊取倒數(shù),得
1
xn+1
=
1-xn
xn
=
1
xn
-1
,即
1
xn+1
-
1
xn
=-1

所以數(shù)列{
1
xn
}是首項(xiàng)為
1
x1
=-1
,公差d=-1的等差數(shù)列.
1
xn
=-1+(n-1)•(-1)=-n
,
所以,xn=-
1
n
,即數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為xn=-
1
n
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合,考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查方程與函數(shù)思想,考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.
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40
40
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243
243
.(用數(shù)字作答)

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