已知函數(shù)f(x)=cos(2x-
3
)-cos2x
(x∈R ).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c,若f(
B
2
)=-
3
2
,b=1
,c=
3
,且a>b,試判斷△ABC的形狀,并說(shuō)明理由.
分析:(Ⅰ)利用誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn),結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式、單調(diào)性求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)解法一:利用f(
B
2
)=-
3
2
,求出B的值,利用余弦定理求出a的值,即可判定三角形的形狀.
解法二:利用f(
B
2
)=-
3
2
,求出B的值,利用正弦定理求出C的值,即可判定三角形的形狀.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=cos(2x-
3
)-cos2x=
3
2
sin2x-
3
2
cos2x=
3
sin(2x-
π
3
)
,
∴.故函數(shù)f(x)的最小正周期為π;遞增區(qū)間為[kπ-
π
12
,kπ+
12
]
(n∈N*Z )…(6分)
(Ⅱ)解法一:f(
B
2
)=
3
sin(B-
π
3
)=-
3
2
,
sin(B-
π
3
)=-
1
2

∵0<B<π,∴-
π
3
<B-
π
3
3

B-
π
3
=-
π
6
,即B=
π
6
.…(9分)
由余弦定理得:b2=a2+c2-2accosB,∴1=a2+3-2×a×
3
×
3
2
,即a2-3a+2=0,
故a=1(不合題意,舍)或a=2.…(11分)
因?yàn)閎2+c2=1+3=4=a2,所以△ABC為直角三角形.…(12分)
解法二:f(
B
2
)=
3
sin(B-
π
3
)=-
3
2

sin(B-
π
3
)=-
1
2

∵0<B<π,∴-
π
3
<B-
π
3
3

B-
π
3
=-
π
6
,即B=
π
6
.…(9分)
由正弦定理得:
a
sinA
=
1
sin
π
6
=
3
sinC
,
sinC=
3
2
,
∵0<C<π,∴C=
π
3
3

當(dāng)C=
π
3
時(shí),A=
π
2
;當(dāng)C=
3
時(shí),A=
π
6
.(不合題意,舍)        …(11分)
所以△ABC為直角三角形.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,三角函數(shù)的單調(diào)性,周期,三角形的形狀的判定,正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,注意條件a>b的應(yīng)用,是易錯(cuò)點(diǎn).
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
2
sin2x-
1
2
(cos2x-sin2x)-1

(1)求函數(shù)f(x)的最小值和最小正周期;
(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C、的對(duì)邊分別為a、b、c,且c=
3
,f(C)=0,若向量
m
=(1, sinA)
與向量
n
=(2,sinB)
共線,求a,b.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•松江區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=
1,x>0
0,x=0
-1,x<0
,設(shè)F(x)=x2•f(x),則F(x)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
(
1
2
)x-1,x≤0
ln(x+1),x>0
,若|f(x)|≥ax,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
(c-1)2x,(x≥1)
(4-c)x+3,(x<1)
的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞),則實(shí)數(shù)c的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x2-ax+5,x<1
1+
1
x
,x≥1
在定義域R上單調(diào),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( 。

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