Question

16．已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，其右焦點(diǎn)為F（1，0），點(diǎn)A（0，1）在橢圓上，過點(diǎn)A作兩條直線，與橢圓E分別交于M，N兩點(diǎn)，直線AM，AN的斜率乘積為-1．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求證：直線MN過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，由c=1，b=1，則a²=b²+c²=2，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），運(yùn)用直線的斜率公式，設(shè)出設(shè)直線MN：y=kx+t，代入橢圓方程，用韋達(dá)定理，結(jié)合M，N在直線上，滿足直線方程，化簡整理，可得t的方程，解方程可得t，即可證得直線MN恒過定點(diǎn)．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由題意可知：c=1，b=1，則a²=b²+c²=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由A（0，1）直線AM與AN的斜率之積為-1，
可得$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=-1，
即有-x₁x₂=y₁y₂-（y₁+y₂）+1，
由題意可知直線MN的斜率存在且不為0，設(shè)直線MN：y=kx+t，
代入橢圓方程，可得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
可得x₁x₂=$\frac{2{t}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，x₁+x₂=-$\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t=$\frac{2t}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=k²•$\frac{2{t}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+kt（-$\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}$）+t²=$\frac{{t}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴-$\frac{2{t}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-（$\frac{2t}{1+2{k}^{2}}$）+1，3t²-2t-1=0，解得：t=1（舍去），或t=-$\frac{1}{3}$，
則直線MN的方程為y=kx-$\frac{1}{3}$，
即直線MN恒過定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\frac{1}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．