Question

6．M是拋物線x²=y上一點，N是不等式x+y-4≥0表示區(qū)域內(nèi)的一點，O為原點，則|$\overrightarrow{ON}$+2$\overrightarrow{OM}$|的最小值為$\frac{{7\sqrt{2}}}{4}$．

Answer 1

分析 設$\overrightarrow{OM′}$=-2$\overrightarrow{OM}$，求出M′的軌跡方程，|$\overrightarrow{ON}$+2$\overrightarrow{OM}$|=|$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OM′}$|=|$\overrightarrow{M′N}$|，求出與直線x+y-4=0平行的直線方程，|$\overrightarrow{ON}$+2$\overrightarrow{OM}$|的最小值為拋物線的切線與直線x+y-4=0之間的距離，即可得出結(jié)論．

解答 解：設M（x₀，y₀），則x₀²=y₀，
設$\overrightarrow{OM′}$=-2$\overrightarrow{OM}$，M′（x，y），則x₀=-$\frac{x}{2}$，y₀=-$\frac{y}{2}$，
代入可得x²=-2y，
∴|$\overrightarrow{ON}$+2$\overrightarrow{OM}$|=|$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OM′}$|=|$\overrightarrow{M′N}$|，
設與直線x+y-4=0平行的直線方程為x+y+c=0，即y=-x-c，
代入x²=-2y，可得x²-2x-2c=0，△=4+8c=0，
∴c=-$\frac{1}{2}$，
∴|$\overrightarrow{ON}$+2$\overrightarrow{OM}$|的最小值為拋物線的切線與直線x+y-4=0之間的距離，即$\frac{|-4+\frac{1}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{{7\sqrt{2}}}{4}$．
故答案為：$\frac{{7\sqrt{2}}}{4}$．

點評 本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查點到直線的距離公式的運用，正確轉(zhuǎn)化是關鍵．