Question

14．過(guò)拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的弦AB，則AB的弦長(zhǎng)為8．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線(xiàn)解析式確定出焦點(diǎn)F坐標(biāo)，根據(jù)直線(xiàn)AB傾斜角表示出直線(xiàn)AB方程，與拋物線(xiàn)解析式聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，即A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根與系數(shù)關(guān)系及根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知直線(xiàn)AB的長(zhǎng)為：x₁+x₂+p，問(wèn)退得以解決．

解答 解：由題意得：拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)F為（1，0），
∵直線(xiàn)AB傾斜角為45°，
∴直線(xiàn)AB的斜率為1，即方程為y=x-1，
聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，
消去y得：（x-1）²=4x，即x²-6x+1=0，
設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，即A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=6，
根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知直線(xiàn)AB的長(zhǎng)為：x₁+x₂+p=6+2=8
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系．在涉及焦點(diǎn)弦的問(wèn)題時(shí)常需要把直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理設(shè)而不求，進(jìn)而利用拋物線(xiàn)的定義求得問(wèn)題的答案．