Question

7．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C₁的極坐標方程為ρ=4sinθ，圓C₂的極坐標方程為ρ=4cos（θ+$\frac{π}{6}$），已知C₁與C₂交于A，B兩點，其中點B（x_B，y_B）位于第一象限，求點A和點B的極坐標．

Answer 1

分析 利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得直角坐標方程，聯(lián)立解出交點直角坐標，化為極坐標即可．

解答 解：圓C₁的極坐標方程為ρ=4sinθ，化為ρ²=4ρsinθ，可得直角坐標方程為：x²+y²=4y；
圓C₂的極坐標方程為ρ=4cos（θ+$\frac{π}{6}$），展開化為ρ²=$4（\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ-\frac{1}{2}ρsinθ）$，可得直角坐標方程：${x}^{2}+{y}^{2}=2\sqrt{3}x-2y$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=4y}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2\sqrt{3}x-2y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴A（0，0），
∵ρ_B=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2，tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，θ=$\frac{π}{6}$，可得極坐標為B$（2，\frac{π}{6}）$．

點評 本題考查了極坐標方程與直角坐標方程互化的方法、圓的方程，考查了計算能力，屬于中檔題．