Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱(chēng)集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．給出下列四個(gè)集合：
①M(fèi)={}；
②M={（x，y）|y=sinx+1}；
③M={（x，y）|y=log₂x}；
④M={（x，y）|y=e^x-2}．
其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是（ ）
A．①②
B．②③
C．①④
D．②④

Answer 1

【答案】分析：對(duì)于①利用漸近線互相垂直，判斷其正誤即可．對(duì)于②、③、④通過(guò)函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域的范圍，畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義，即可判斷正誤；
解答：解：對(duì)于①y=是以x，y軸為漸近線的雙曲線，漸近線的夾角是90°，所以在同一支上，任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，滿足好集合的定義；在另一支上對(duì)任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，所以不滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義，不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．
對(duì)于②M={（x，y）|y=sinx+1}，對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如（0，1）、（π，0），滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義，所以M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；正確．
對(duì)于③M={（x，y）|y=log₂x}，取點(diǎn)（1，0），曲線上不存在另外的點(diǎn)，使得兩點(diǎn)與原點(diǎn)的連線互相垂直，所以不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．
對(duì)于④M={（x，y）|y=e^x-2}，如下圖紅線的直角始終存在，對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如取M（0，-1），則N（ln2，0），滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義，所以是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；正確．

所以②④正確．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義，利用對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，是本題解答的關(guān)鍵，函數(shù)的基本性質(zhì)的考查，注意存在與任意的區(qū)別．