Question

已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足：對于任意實數(shù)x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+

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恒成立，且當(dāng)x＞0時，f（x）＞-

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恒成立．
（1）求f（0）的值，并列舉滿足題設(shè)條件的一個具體函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令y=0得，f（x）=f（x）+f（0）+

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，從而求f（0），從而由恒成立猜函數(shù)的可能；
（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由定義法證明．

解答： 解：（1）令y=0得，
f（x）=f（x）+f（0）+

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；
故f（0）=-

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；
由f（x+y）=f（x）+f（y）+

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知，
f（x）=x-

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即是滿足題設(shè)條件的一個具體函數(shù)；
（2）f（x）在R上單調(diào)遞增，證明如下，
令x+y=0得，f（0）=f（x）+f（-x）+

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，
-f（x）=f（-x）+1，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）+1
=f（x₂-x₁）+

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，
∵x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）+

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2

＞0；
故f（x₂）-f（x₁）＞0；
故f（x）在R上單調(diào)遞增．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用，同時考查了函數(shù)的單調(diào)性的證明，屬于中檔題．