Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-|x-a|．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求不等式f（x）＞7的解集；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=3時(shí)，求不等式即3x²-|x-3|＞7，運(yùn)用絕對(duì)值的定義，可得不等式組，分別解出它們，再求并集即可；
（2）根據(jù)絕對(duì)值的定義得到分段函數(shù)，分當(dāng)0＜a≤

2

4

時(shí)，

2

4

＜a≤

1

2

時(shí)，當(dāng)

1

2

＜a≤

2

2

時(shí)，當(dāng)a≥

2

2

時(shí)，四種情況，分別根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，不等式f（x）＞7，
即 3x²-|x-3|＞7，
∴①

x≥3 3x2-x+3＞7

，或②

x＜3 3x2+x-3＞7

．
解①求得x≥3，解②求得x＜-2，或

5

3

＜x＜3．
綜上，不等式的解集為{x|x＜-2，或x＞

5

3

}．
（2）由于a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²-|x-a|=

ax2-x+a，x≥a ax2+x-a，x＜a

，
當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=a（x-

1

2a

）²+a-

1

4a

，
當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）=a（x+

1

2a

）²-a-

1

4a

．
當(dāng)0＜a＜

2

2

時(shí)，a＜

1

2a

，f（x）在x≥a上的最小值為a-

1

4a

，
而f（x）在0＜x＜a上遞增，f（0）取得最小，且為-a，
①當(dāng)0＜a≤

2

4

時(shí)，a-

1

4a

≤-a，則有f（x）在[0，+∞）上的最小值為a-

1

4a

；
②

2

4

＜a≤

1

2

時(shí)，a-

1

4a

＞-a，則f（x）在[0，+∞）上的最小值為-a；
③當(dāng)

1

2

＜a≤

2

2

時(shí)，a-

1

4a

＞0，則f（x）在[0，+∞）上的最小值為-a．
當(dāng)a≥

2

2

時(shí)，a＞

1

2a

，f（x）在x≥a上遞增，f（a）最小，且為a³＞0，
而在0≤x＜a時(shí)，f（x）遞增，則有f（0）取得最小，且為-a＜0，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的最小值為-a；
綜上可得，當(dāng)0＜a≤

2

4

時(shí)，f（x）在[0，+∞）上的最小值為a-

1

4a

；
當(dāng)a＞

2

4

時(shí)，f（x）在[0，+∞）上的最小值為-a．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的函數(shù)的性質(zhì)，絕對(duì)值不等式的解法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．