Question

已知函數(shù)f(x)=x+

a

x

-a，
（1）若方程f（x）=0有正根，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)g（x）=|xf（x）|，且g（x）在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)方程f（x）=0有正根，轉(zhuǎn)化為方程x²-ax+a=0有正根，對方程進行有異號根，和兩正根或一零根一正根進行討論，即可求得實數(shù)a的取值范圍；
（2）求出并配方得g(x)=|(x-

a

2

)2+a-

a2

4

|，根據(jù)g（x）的圖象特征，分a-

a2

4

≥0和a-

a2

4

＜0時進行討論，即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）方程x+

a

x

-a=0有正根?方程x²-ax+a=0有正根．△=a²-4a
①當△=0，即a=0或a=4時，經(jīng)檢驗a=4符合題意．
②當△＞0，即a＞4或a＜0時，設(shè)方程x²-ax+a=0的兩個根為x₁、x₂，
∵a＞4時，使得

x1+x2＞0 x1x2＞0

成立，所以a＞4符合題意∵a＜0時，使得x₁x₂＜0成立，所以a＜0符合題意．
綜上，a≥4或a＜0
（2）g(x)=|(x-

a

2

)2+a-

a2

4

|
①當a-

a2

4

≥0即0≤a≤4時，g（x）在區(qū)間(-∞，

a

2

]上是減函數(shù)，又已知g（x）在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，
∴

a

2

≥1即a≥2，
∴2≤a≤4
②當a-

a2

4

＜0即a＞4或a＜0時，設(shè)方程g（x）=0的兩根為x₁，x₂且x₁＜x₂，此時g（x）
在區(qū)間（-∞，x₁]或區(qū)間[

a

2

，x2]上是減函數(shù)，若[0，1]?（-∞，x₁]，則x1≥1?

a 2 ＞1 1•f(1)＞0

得a＞2
∴a＞4
若[0，1]?[

a

2

，x2]，則

a 2 ≤0 x2≥1

?

a 2 ≤0 1•f(1)≤0

此時a不存在
綜上，a≥2

點評：本題考查一元二次方程的根的情況以及y=|f（x）|函數(shù)的圖象特點，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查運算能力和靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力，屬難題．