Question

16．如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，E為PC的中點．
（Ⅰ）證明：平面BED⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若∠BED=90°，AB=2，求三棱錐E-BDP的體積．

Answer 1

分析 （I）連接AC交BD于O，連接OE，利用中位線定理得出OE∥PA，故而OE⊥平面ABCD，于是平面BED⊥平面ABCD；
（II）利用勾股定理計算OB，OE，則V_E-BDP=V_E-BCD．

解答 證明：（I）連接AC交BD于O，連接OE．
∵底面ABCD是菱形，
∴O是AC的中點，又E是PC的中點，
∴OE∥PA，又PA⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，
∵OE?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABCD．
（II）∵AB=2，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AC=2，OB=OD=$\sqrt{3}$，
又OE⊥BD，∠BED=90°，∴OE=OB=$\sqrt{3}$，∴PA=2OE=2$\sqrt{3}$．
∴V_E-BDP=V_P-BCD-V_E-BCD=V_E-BCD=$\frac{1}{3}$S_△BCD•OE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$=1．

點評 本題考查了面面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．