Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=n²-n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=2b_n-a_n且b₁=4，
（i）證明：數(shù)列{b_n-2n}是等比數(shù)列，并求{b_n}的通項(xiàng)；
（ii）當(dāng)n≥2時(shí)，比較b_n-1•b_n+1與b_n²的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，利用已知條件能求出a_n=2n-2．
（Ⅱ）（i）由已知得b_n+1-2（n+1）=2（b_n-2n），且b₁-2=2，由此能證明數(shù)列{b_n-2n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而得到bn=2n+2n．
（ii）當(dāng)n≥2時(shí)，利用作差法得到bn-1•bn+1-bn2=2ⁿ（n-3）-4，由此能比較b_n-1•b_n+1與b_n²的大小．

解答： （Ⅰ）解：∵S_n=n²-n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=0，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-n-[（n-1）²-（n-1）]=2n-2，
∵n=1時(shí)滿足上式，
∴a_n=2n-2．
（Ⅱ）（i）證明：由已知得b_n+1=2b_n-2n+2，
即b_n+1-2（n+1）=2（b_n-2n），且b₁-2=2，
∴數(shù)列{b_n-2n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
則bn-2n=2n，∴bn=2n+2n．
（ii）解：當(dāng)n≥2時(shí)，∵bn-1•bn+1-bn2
=[2^n-1+2（n-1）]•[2ⁿ⁺¹+2（n+1）]-（2ⁿ+2n）²
=2²ⁿ+2ⁿ（n+1）+2ⁿ×4（n-1）+4（n²-1）-（2²ⁿ+4n×2ⁿ+4n²）
=2ⁿ（n-3）-4，
∴當(dāng)n=2或n=3時(shí)，bn-1•bn+1＜bn2，
當(dāng)n≥4時(shí)，bn-1•bn+1＞bn2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等比數(shù)列的證明，考查兩個(gè)式子大小的比較，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．