Question

設函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax+1，a∈R，記F（x）=f（x）-g（x）．
（1）求曲線y=f（x）在x=e處的切線方程；
（2）求函數(shù)F（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：（1）f′（x）=

1

x

，則函數(shù)f（x）在x=e處的切線的斜率為k=

1

e

．又f（e）=1，從而求出函數(shù)f（x）在x=e處的切線方程，
（2）由F（x）=lnx-ax-1，得F′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，（x＞0）．分情況討論①當a≤0時，②當a＞0時，令F′（x）＜0，從而得出單調區(qū)間．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

，則函數(shù)f（x）在x=e處的切線的斜率為k=

1

e

．
又f（e）=1，
所以函數(shù)f（x）在x=e處的切線方程為
y-1=

1

e

（x-e），
即y=

1

e

x．                 
（2）F（x）=lnx-ax-1，
∴F′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，（x＞0）．
①當a≤0時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增；
②當a＞0時，令F′（x）＜0，解得x＞

1

a

；令F′（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

．
綜上所述，當a≤0時，函數(shù)F（x）的增區(qū)間是（0，+∞）；
當a＞0時，函數(shù)F（x）的增區(qū)間是（0，

1

a

），減區(qū)間是（

1

a

，+∞）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調性，導數(shù)的應用，滲透了分類討論思想，是一道基礎題．