Question

已知函數(shù),,且點(diǎn)處取得極值．

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明：．

 

Answer 1

（1）0；（2）.

【解析】

試題分析：利用導(dǎo)數(shù)及極值來解決問題時一般問題不會太難，應(yīng)抓住關(guān)鍵問題由此入手.（2）解決類似的問題時，注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值.求函數(shù)的最值時，要先求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)使的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有使的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得.（3）分類討論是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn)，要找好臨界條件進(jìn)行討論.

試題解析：（Ⅰ）∵， ∴

∵函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，

∴，即當(dāng)時，

∴，則得.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意

（Ⅱ）∵,∴,

∴.

令,

則.

∴當(dāng)時，隨的變化情況表：

	1	（1,2）	2	（2，3）	3
		+	0	-
		↗	極大值	↘

計(jì)算得：，，，

所以的取值范圍為.

（Ⅲ）證明：令，

則，

令，則 ，

函數(shù)在遞增，在上的零點(diǎn)最多一個

又，，

存在唯一的使得，

且當(dāng)時，；當(dāng)時，.

即當(dāng)時，；當(dāng)時，.

在遞減，在遞增，

從而.

由得即，兩邊取對數(shù)得：，，

，

從而證得.

考點(diǎn)：（1）利用導(dǎo)數(shù)極值求參量的取值或范圍 ；（2）導(dǎo)數(shù)即函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用.