已知f(x)=alnx+
1
2
x2(a＞0)，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)m，n都有
f(m)-f(n)
m-n
＞3恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
a≥
9
4
a≥
9
4
．
分析：由題意易得f′（x）＞3恒成立，求導(dǎo)數(shù)，分離a，只需求x（3-x）的最小值即可．
解答：解：因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)m，n都有
f(m)-f(n)
m-n
＞3恒成立，
所以函數(shù)f（x）圖象上每點(diǎn)切線的斜率＞3恒成立，
故f′（x）＞3恒成立，
又已知f(x)=alnx+
1
2
x2(a＞0)，定義域?yàn)椋?，+∞）
求導(dǎo)數(shù)可得f′(x)=
a
x
+x，故
a
x
+x＞3恒成立，
所以a＞x（3-x）恒成立，只需求x（3-x）的最小值，
而當(dāng)x=
3
2
時(shí)，[x（3-x）]min=
9
4
，
故答案為：a≥
9
4
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，涉及恒成立問題，屬中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=aln(x+2)+
12
x2-2x，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)-
x
1+x
在[0，+∞）上單調(diào)遞增，數(shù)列{an}滿足a1=
1
3
，a2=
7
9
，an+2=
4
3
an+1-
1
3
an（n∈N*）．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍以及a取得最小值時(shí)f（x）的最小值；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求證：
1
a1+2
+
1
a2+2
+…+
1
an+2
＜ln
3n+1-2
（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)-
2xx+1
+b的圖象與直線x+y-2=0相切于點(diǎn)（0，c）．
求：
（1）實(shí)數(shù)a的值；
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=aln(x-a)-
1
2
x2+x(a＜0)．
（I）當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若-1＜a＜2（ln2-1），求證：函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)x0，且a+1＜x0＜a+2；
（III）當(dāng)a=-
4
5
時(shí)，記函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為x0，若對(duì)任意x1，x2∈[0，x0]且x2-x1=1，都有|f（x2）-f（x1）|≥m成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．
（本題可參考數(shù)據(jù)：ln2=0.7，ln
9
4
=0.8，ln
9
5
=0.59）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)+
1x-1

（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）當(dāng)a=3時(shí)，求f（x）的極值；
（3）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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