Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n²，在數(shù)列{b_n}中，b₁=1，b_n+1=3b_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）按照a_n與S_n的關(guān)系式即可求得a_n，注意驗(yàn)證n=1的情況；先判斷{b_n}為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得b_n；
（II）由（I）易求c_n，利用錯(cuò)位相減法即可求得{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=4n-2，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2，也符合上式，
∴a_n=4n-2，
∵b₁=1，b_n+1=3b_n，∴b_n=1•3^n-1=3^n-1；
（Ⅱ）c_n=a_nb_n=2（2n-1）•3^n-1，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…c_n=2+6•3¹+10•3²+…+（2n-1）•3^n-1①，
3T_n=2•3¹+6•3²+…+（2n-1）•3ⁿ②，
①-②整理可得，T_n=（2n-2）•3ⁿ+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和，考查錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和，屬于中檔題．