函數(shù)f(x)=xn+(1-x)n,x∈(0,1),n∈N*.記y=f(x)的最小值為an,則a1+a2+…+a6=________.

分析:當(dāng)n=1時,f(x)=x+(1-x)=1,求出a
1=1,n≥2時,f(x)=x
n+(1-x)
n,求導(dǎo),令導(dǎo)數(shù)等于零,分析導(dǎo)數(shù)的符號,確定函數(shù)的最小值,求出a
n=

,利用等比數(shù)列求和公式即可求得結(jié)果.
解答:n=1時,f(x)=x+(1-x)=1,
∴a
1=1
n≥2時,f(x)=x
n+(1-x)
n,
f′(x)=nx
n-1-n(1-x)
n-1=n[x
n-1-(1-x)
n-1]=0
解得x=

,
當(dāng)x∈(0,

),f′(x)<0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,

)上是減函數(shù),
當(dāng)x∈(

,1),f′(x)>0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(

,1)上是增函數(shù),
∴當(dāng)x=

時,函數(shù)f(x)的最小值為f(

)=

,
∴a
1+a
2+…+a
6=1+

+

+…+

=

故答案為:

.
點評:本題考查函數(shù)的最值和等比數(shù)列求和問題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,從而確定函數(shù)的最值,是解題的關(guān)鍵,屬中檔題.