Question

13．若x，y∈R⁺，且$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤a$\sqrt{x+y}$恒成立，則a的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先對不等式兩邊平方，整理得a²-1≥$\frac{2\sqrt{xy}}{x+y}$，再利用基本不等式求出右側式子的最大值即可求出a的范圍，從中得出a的最小值．

解答 解：∵$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤a$\sqrt{x+y}$恒成立，
∴a＞0，且x+y+2$\sqrt{xy}$≤a²（x+y）恒成立，
∴a²-1≥$\frac{2\sqrt{xy}}{x+y}$恒成立，
∵$\sqrt{xy}$≤$\frac{x+y}{2}$，
∴$\frac{2\sqrt{xy}}{x+y}$≤1，
∴a²-1≥1，即a²≥2．
∴a$≥\sqrt{2}$．
故答案為$\sqrt{2}$．

點評 本題綜合考查了利用不等式的性質(zhì)與基本不等式，求不等式恒成立問題中的參數(shù)的取值范圍，求解本題的關鍵是將不等式變形分離出參數(shù)a，且分離后變成可以應用基本不等式的形式．