Question

18．已知α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$），求f（α）=sin²α+2sinαcosα+3cos²α的最小值．

Answer 1

分析 利用倍角公式及兩角和的正弦化簡(jiǎn)，然后由α的范圍求得相位的范圍，則函數(shù)值域可求．

解答 解：f（α）=（sinα）²+2sinαcosα+3（cosα）²
=1+2cos²α+2sinαcosα=sin2α+cos2α+2
=$\sqrt{2}$$sin（2α+\frac{π}{4}）+2$．
∵α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$），∴$2α+\frac{π}{4}∈$$（\frac{3π}{4}，\frac{11π}{12}）$，
∴$\sqrt{2}sin（2α+\frac{π}{4}）∈$（$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}，1$），
則f（α）的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與兩角和的正弦，考查了三角函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．