Question

設A，B分別是直線y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上的兩個動點，并且|

AB

|=

20

，動點P滿足

OP

=

OA

+

OB

，記動點P的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若點D的坐標為（0，16），M，N是曲線C上的兩個動點，并且

DM

=λ

DN

，求實數(shù)λ的取值范圍；
（3）M，N是曲線C上的任意兩點，并且直線MN不與y軸垂直，線段MN的中垂線l交y軸于點E（0，y₀），求y₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用

OP

=

OA

+

OB

，確定P，A，B坐標之間的關系，根據(jù)|

AB

|=

20

，可得曲線C的方程；
（2）由

DM

=λ

DN

可得N，M坐標之間的關系，利用M，N在曲線C上，結合λ≠0，λ≠1，即可求實數(shù)λ的取值范圍；
（3）設直線MN的方程，求出直線l的方程，由E（0，y₀）在直線l上，確定y₀的表達式，從而可求y₀的取值范圍．

解答：解：（1）設P(x，y)，A(x1，

2 5

5

x1)，B(x2，-

2 5

5

x2)．
∵

OP

=

OA

+

OB

，∴

x=x1+x2 y= 2 5 5 (x1-x2)

∴

x1+x2=x x1-x2= 5 2 y

，
又|

AB

|=

20

，∴

5

4

y2+

4

5

x2=20，即所求曲線方程為

x2

25

+

y2

16

=1；
（2）設N（s，t），M（x，y），則由

DM

=λ

DN

可得（x，y-16）=λ（s，t-16）
故x=λs，y=16+λ（t-16）
∵M，N在曲線C上，∴

s2 25 + t2 16 =1 λ2s2 25 + (λt-16λ+16)2 16 =1

，
消去s，得

λ2(16-t2)

16

+

(λt-16λ+16)2

16

=1，由λ≠0，λ≠1解得t=

17λ-15

2λ

，
又|t|≤4，∴

3

5

≤λ≤

5

3

且λ≠1；
（3）設直線MN為y=kx+b（k≠0），則

x2 25 + y2 16 =1 y=kx+b

得：（25k²+16）x²+50kbx+25（b²-16）=0
由△＞0解得：b²＜25k²+16①，且

x1+x2

2

=-

25kb

25k2+16

，

y1+y2

2

=-

16b

25k2+16

則直線l為y-

16b

25k2+16

=-

1

k

(x+

25kb

25k2+16

)，
由E（0，y₀）在直線l上，∴y0=

-9b

25k2+16

②
由①②得y02＜

81

25k2+16

＜

81

16

∴-

9

4

＜y0＜

9

4

．

點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力．