Question

【題目】已知函數(shù)（且）

（1）若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若有兩個不同的極值點，記過點，的直線的斜率為k，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）由在上恒成立，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值．

（2）由（1）知時函數(shù)有兩個極值點，，不妨設(shè)，從而有，求出，并湊配出，這樣只要證明，再利用函數(shù)在單調(diào)性可證明．

解：定義域，

由在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，等價于對任意，都有，

即恒成立，而，

故，又，所以.

（2）定義域，設(shè)，其判別式，當時，由（1）得由在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，無極值點，

當時，，兩根為，，當時，上；當時，；當時，.故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.即是函數(shù)的極值點，不妨設(shè)，則且.

，所以

，而，

而且得，故，所以，.

設(shè)，（），而，

所以在上單調(diào)遞增，所以，而，故.