Question

已知定點(diǎn)A（12，0），M為曲線（x-6）²+y²=4上的動點(diǎn)，
（1）若

AP

= 2

AM

，試求動點(diǎn)P的軌跡C的方程
（2）若直線l：y=-x+a與曲線C相交與不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

OE

•

OF

=12，實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：設(shè)P（x，y），M （a，b）
（1）由

AP

=2

AM

可得a，b與x，y之間的關(guān)系，結(jié)合M（a，b）為為曲線（x-6）²+y²=4上的點(diǎn)可求x，y的關(guān)系，即可求曲線C 的方程
（2）聯(lián)立直線y=-x+a與曲線C的方程，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x₁+x₂，x₁x₂，結(jié)合y₁y₂=（a-x₁）（a-x₂）=a²-a（x₁+x₂）+x₁x₂=

a2-16

2

及

OE

•

OF

=x₁x₂+y₁y₂，代入可求a

解答：解：設(shè)P（x，y），M （a，b）
（1）

AP

=(x-12，y)，

AM

=(a-12，b)
∵

AP

=2

AM

∴

x-12=2(a-12) y=2b

∴

b= 1 2 y a= 1 2 x+6

∵M(jìn)（a，b）為為曲線（x-6）²+y²=4上的點(diǎn)
∴（a-6）²+b²=4上
∴

x

4

2+

y2

4

=4，即動點(diǎn)C的軌跡方程為x²+y²=16
（2）聯(lián)立方程

y=-x+a x2+y2=16

可得2x²-2ax+a²-16=0
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則x₁+x₂=a，x1x2=

a2-16

2

∴y₁y₂=（a-x₁）（a-x₂）=a²-a（x₁+x₂）+x₁x₂=

a2-16

2

∴

OE

•

OF

=x₁x₂+y₁y₂=a²-16=12
∴a²=28
∴a=±2

7

點(diǎn)評：本題考查利用相關(guān)點(diǎn)法求解點(diǎn)的軌跡方程，直線與曲線相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示等綜合應(yīng)用