Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-bx²+9x+2，若f（x）在x=1處的切線方程為3x+y-6=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若對任意的x∈[

1

4

，2]都有f（x）≥t²-2t-1成立，求函數(shù)g（t）=t²+t-2的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）欲求實(shí)數(shù)a、b的值，利用f（x）在x=1處的切線方程為3x+y-6=0，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決；
（II）求導(dǎo)數(shù)，確定f（x）在[

1

4

，2]上的最小值為2，由f（x）≥t²-2t-1對x∈[

1

4

，2]恒成立，則t²-2t-1≤2，求出t的范圍，從而可求函數(shù)g（t）=t²+t-2的最值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，得切點(diǎn)為（1，3），且f′（x）=3ax²-2bx+9，
由題意可得

f(1)=a-b+9+2=3 f′(1)=3a-2b+9=-3

，
解得

a=4 b=12

，
故f（x）=4x³-12x²+9x+2；
（II）f′（x）=12x²-24x+9，
由f′（x）=0，得x=

1

2

或

3

2

，
由f′（x）＞0，得x＞

3

2

或x＜

1

2

；由f′（x）＜0，得

1

2

＜x＜

3

2

；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（

3

2

，+∞），（-∞，

1

2

）；f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（

1

2

，

3

2

）；
∴f（x）的極小值為f（

3

2

）=2，
又f（

1

4

）=

57

16

，f（2）=4，
∴f（x）在[

1

4

，2]上的最小值為2，
由f（x）≥t²-2t-1對x∈[

1

4

，2]恒成立，則t²-2t-1≤2，
則t²-2t-3≤0，解得-1≤t≤3，
而g（t）=t²+t-2=(t+

1

2

)2-

9

4

，
故當(dāng)t=-

1

2

時(shí)，g（t）最小值為-

9

4

；當(dāng)t=3時(shí)，g（t）最大值為10．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，是一道中檔題．