Question

12、f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f（x）+x•f'（x）＜0，且f（-4）=0，則不等式xf（x）＞0的解集為（　�。�

A、（-4，0）∪（4，+∞）

B、（-4，0）∪（0，4）

C、（-∞，-4）∪（4，+∞）

D、（-∞，-4）∪（0，4）

Answer 1

分析：由題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf （x），再由導(dǎo)函數(shù)的符號判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，由函數(shù)f（x）的奇偶性得到函數(shù)g（x）的奇偶性，由f（-4）=0得g（4）=0、還有g(shù)（-4）=0，再通過奇偶性進行轉(zhuǎn)化，利用單調(diào)性求出不等式得解集．

解答：解：設(shè)g（x）=xf（x），則g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴g（x）=xf（x）是R上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，
∵f（-4）=0，
∴f（4）=0；
即g（4）=0，g（-4）=0
∴xf（x）＞0化為g（x）＞0，
設(shè)x＞0，故不等式為g（x）＞g（4），即0＜x＜4
設(shè)x＜0，故不等式為g（x）＞g（-4），即x＜-4
故所求的解集為（-∞，-4）∪（0，4）
故選D．

點評：本題考查了由條件構(gòu)造函數(shù)和用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系對不等式進行轉(zhuǎn)化，注意函數(shù)值為零的自變量的取值．