設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x+2)=-3f(x).當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-x2.則f(0)+f(-1)+f(-1)+…+f(-2014)=( 。
A、-
3
4
(1-31007
B、-
3
4
(1+31007
C、-
1
4
(1-
1
31007
D、-
1
4
(1+
1
31007
分析:根據(jù)f(x+2)=-3f(x)以及x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-x2,可以發(fā)現(xiàn)f(0)=f(-2)=…=f(-2014)=0,從而將所求表達(dá)式分成兩組求和,而根據(jù)
f(x)
f(x+2)
=-
1
3
,發(fā)現(xiàn)f(-1),f(-3),…,f(-2013)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,運(yùn)用等比數(shù)列求和即可求得結(jié)果,最后兩組和相加即可得到所要求解的答案.
解答:解:∵當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-x2,
∴當(dāng)x=0時(shí),f(0)=0,當(dāng)x=1時(shí),f(1)=1,
又∵f(x+2)=-3f(x),
∴當(dāng)x=-2時(shí),f(0)=-3f(-2),故f(-2)=0,
當(dāng)x=-1時(shí),f(1)=-3f(-1),故f(-1)=-
1
3
,
以此類推,f(-4)=f(-6)=…=f(-2014)=0,
故f(0)+f(-2)+f(-4)+…+f(-2014)=0,
∵f(x+2)=-3f(x),
f(x)
f(x+2)
=-
1
3
,
故f(-1),f(-3),f(-5),…,f(-2013)構(gòu)成以f(-1)為首項(xiàng),-
1
3
為公比的等比數(shù)列,
∴f(-1)+f(-3)+f(-5)+…+f(-2013)=
-
1
3
×[1-(-
1
3
)1007]
1-(-
1
3
)
=-
1
4
(1+
1
31007
)
,
∴f(0)+f(-1)+f(-1)+…+f(-2014)=[f(0)+f(-2)+f(-4)+…+f(-2014)]+[f(-1)+f(-3)+f(-5)+…+f(-2013)]=0+-
1
4
(1+
1
31007
)
=-
1
4
(1+
1
31007
)

∴f(0)+f(-1)+f(-1)+…+f(-2014)=-
1
4
(1+
1
31007
)

故選:D.
點(diǎn)評(píng):本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的求值問題,涉及了等比數(shù)列的定義以及等比數(shù)列的求和.對(duì)于抽象函數(shù)的求值一般利用賦值法求解.解決本題的關(guān)鍵是將f(0)+f(-1)+f(-1)+…+f(-2014)分解成兩組進(jìn)行求解,一組的和恒為定值0,另一組構(gòu)成了等比數(shù)列求和.屬于中檔題.
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-2

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1
2
 )=2
,則f(1)+f(
3
2
)+f(2)+f(
5
2
)+f(3)+f(
7
2
)
=
-2
-2

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設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x).當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-x2+a(a是常數(shù)).則x∈[2,4]時(shí)的解析式為(  )
A、f(x)=-x2+6x-8B、f(x)=x2-10x+24C、f(x)=x2-6x+8D、f(x)=x2-6x+8+a

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