Question

15．已知命題p：對于m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥$\sqrt{m^2+8}$恒成立；命題q：關(guān)于x的不等式x²+ax+a²-3a-4＜0的解集為A，A?B=[-3，1]，若p∨q為真，且p∧q為假，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出命題p，q中的a的取值范圍，再利用若p∨q為真，且p∧q為假，則p與q一真一假．即可得出．

解答 解：若命題p為真：
則對于m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥$\sqrt{{m}^{2}+8}$恒成立；
由于（$\sqrt{{m}^{2}+8}$）_max=3，
∴a²-5a-3≥3，解得a≥6或a≤-1．
若命題q為真：
則關(guān)于x的不等式x²+ax+a²-3a-4＜0的解集為A，A?B=[-3，1]，
令f（x）=x²+ax+a²-3a-4，
則$\left\{\begin{array}{l}f（-3）＜0\\ f（1）＜0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}-6a+6＜0\\{a}^{2}-2a-3＜0\end{array}\right.$，
解得：1＜a＜3，
若p∨q為真，且p∧q為假，則p與q一真一假．
當p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}a≥6或a≤-1\\ a≥3或a≤1\end{array}\right.$，解得a≥6或a≤-1，
當q真p假時，$\left\{\begin{array}{l}-1＜a＜6\\ 1＜a＜3\end{array}\right.$，
解得1＜a＜3，
綜上可知：a的取值范圍是a≥6，或1＜a＜3，或a≤-1．

點評 本題考查了簡易邏輯的有關(guān)知識、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化、分類討論思想方法等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力，屬于難題．