Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD．△PAD為等腰直角三角形，且PA⊥AD． E，F(xiàn)分別為底邊AB和側(cè)棱PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：EF⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角E-PD-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取PD的中點(diǎn)G，連接FG，AG，證明四邊形AEFG是平行四邊形，可得EF∥AG，利用線面平行的判定定理可得EF∥平面PAD；
（Ⅱ）先證明AB，AD，AP兩兩垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，證明

EF

•

PD

=0，

EF

•

CD

=0，可得EF⊥PD，EF⊥CD，利用線面垂直的判定定理可得EF⊥平面PCD；
（Ⅲ）求出平面EPD的法向量，平面PCD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角E-PD-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取PD的中點(diǎn)G，連接FG，AG．
因為F，G分別是PC，PD的中點(diǎn)，
所以FG是△PCD的中位線．
所以FG∥CD，且FG=

1

2

CD．
又因為E是AB的中點(diǎn)，且底面ABCD為正方形，
所以AE=

1

2

AB=

1

2

CD，且AE∥CD．
所以AE∥FG，且AE=FG．
所以四邊形AEFG是平行四邊形．
所以EF∥AG．
又EF?平面PAD，AG?平面PAD，
所以EF∥平面PAD．                                    …（4分）
（Ⅱ）證明：因為平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PA⊥平面ABCD．
所以PA⊥AB，PA⊥AD．
又因為ABCD為正方形，所以AB⊥AD，
所以AB，AD，AP兩兩垂直，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．  
由題意易知AB=AD=AP，
設(shè)AB=AD=AP=2，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，0，0），F(xiàn)（1，1，1）．
因為

EF

=（0，1，1），

PD

=（0，2，-2），

CD

=（-2，0，0），
所以

EF

•

PD

=0，

EF

•

CD

=0，
所以EF⊥PD，EF⊥CD．
又因為PD，CD相交于D，
所以EF⊥平面PCD．     …（9分）
（Ⅲ）易得

EP

=（-1，0，2），

PD

=（0，2，-2）．
設(shè)平面EPD的法向量為

n

=（x，y，z），則

-x+2z=0 2y-2z=0

，即

x=2z y=z

，
令z=1，則

n

=（2，1，1）．
由（Ⅱ）可知平面PCD的法向量是

EF

=（0，1，1），
所以cos＜

n

，

EF

＞=

n • EF

| n || EF |

=

2

2 • 6

3

3

．
由圖可知，二面角E-PD-C的大小為銳角，
所以二面角E-PD-C的余弦值為

3

3

．      …（14分）

點(diǎn)評：本題考查線面平行，線面垂直，考查面面角，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)．